Պյութագորասի թեորեմի ապացույց

proof21

Հիմա մենք կսկսենք նույն եռանկյան չորս պատճեներով: Նրանցից երեքը համապատասխանաբար պտտել են 90°, 180°, և 270°: Ամեն մեկը ունի ab/2 մակերեսը: Եկենք առանց լրացուցիչ պտույտների դնենք նրանք միասին, որպեսզի նրանք կազմեն c կողմով քառակուսի:

proof22

Քառակուսին ունի քառակուսի ծակ (a – b) կողմով: Հաշվելով նրա մակերեսը (a – b)² և 2ab, չորս եռանկյունների մակերեսը (4·ab/2), մենք ստանում ենք

c²= (a – b)² + 2ab= a² – 2ab + b² + 2ab= a² + b²

Անգլերեն տարբերակը տես այստեղ

Advertisements

Պարզ թվեր

  • գրեք հարյուրից փոքր պարզ թվերը աճման կարգով
  • օգտվելով համցանցից ներբեռնած աղյուսակից, գրեք, թե մինչև հազարը յուրաքանչյուր հարյուրակում քանի պարզ թիվ կա
  • ապացուցեք, որ 3-ից մեծ պարզ թվերը ունեն 6k+1 կամ 6k-1(6k+5) տեսքը
  • ի՞նչ թվանշաններով կարող են վերջանալ պարզ թվերի քառակուսիները:
    4,9,5,1
    Միջակայքի պարզ թվերը հաշվող ծրագիր:

Երկրաչափություն

  1. Ապացուցեք, որ եռանկյան ցանկացած կողմը փոքր է եռանկյան կիսապարագծից:
    ½(a+b+c)>a
    a+b+c>2a
    b+c>a
  2. Ապացուցեք, որ եռանկյան բարձրությունը փոքր է նույն գագաթից ելնող կողմերի կիսագումարից:
    a>h, b>h
    a+b>2h
    (a+b)/2>h
  3. Եռանկյան բարձրությունների գումարը փոքր է նրա պարագծից:
    h1<1/2(a+b)
    h2<1/2(b+c)
    h3<1/2(c+a)
    a+b+c>h1+h2+h3
  4. Ապացուցեք, որ եթե մի եռանկյան կողմը, նրան կից մի անկյունը և մյուս երկու կողմերի գումարը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին, նրան կից անկյանը և մյուս երկու կողմերի գումարին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:
  5. Օգտագործելով GeoGebra ծրագիրը, գծեք հատված, որի երկարությունը չորս անգամ մեծ լինի տրված հատվածի երկարությունից:
  6. Օգտագործելով GeoGebra ծրագիրը գծեք 3a+2b երկարությամբ c հատված, որտեղ a,b-ն տրված հատվածների երկարություններն են:
  1. Եռանկյան արտաքին անկյունը 1500 է: Նրան ոչ կից անկյուններից մեկը 100-ով մեծ է մյուսից: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:
    <A=30
    <B=70
    <C=80
  2. Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 400 է: Այդ եռանկյան սրունքն է մե՞ծ, թե՞ հիմքը:
    Հիմքը
  3. Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 1000 է: Այդ եռանկյան սրունքն է մե՞ծ, թե՞ հիմքը:
    Նայած ինչ դեպքում:
  4. ABC եռանկյան մեջ AB=BC, B=800: A և C անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում: Գտեք AMC անկյան մեծությունը:
    <AMC=130
  5. ABC եռանկյան AB կողմը շարունակված է B գագաթից: Այդ շարունակության վրա նշված է D կետն այնպես, որ BC=BD: Գտեք ACD անկյան մեծությունը, եթե ACB=600, ABC=500 :
    <ACD=60
  6. 45 մեծություն ունեցող A անկյան կողմերի վրա նշված են B և C կետերը, իսկ ներքին տիրույթում D կետն այնպես, որ ABD=950, ACD-900: Գտե BDC անկյան մեծությունը:

 

Երկրաչափություն

  1. ABC եռանկյան մեջ BC=1, CA=7 և AB կողմի երկարությունը նույնպես ամբողջ թվով է արտահայտվում: Գտեք AB կողմի երկարությունը:
    6<AB<8

AB=7

  1. Գտեք հավասարասրուն եռակյան պարագիծը, եթե նրա կողմերից երկուսի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են 3,9 և 7,9:
    3,9+3,9+7,9=15.5սմ
  2. Եռանկյան երկու կողմերը համապատասխանաբար հավասար են 3 և 4: Երրորդ կողմին տարված միջնագիծը տրված եռանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների: Հաշվեք ստացված եռանկյունների պարագծերի տարբերությունը:
    P1=P2+1
  3. Տրված են a և b երկրարությամբ հատվածներ, և հայտնի է, որ գոյություն ունի եռանկյուն, որի կողմերն են a+5b, 5a+6b, 3a+2b հատվածները: a և b թվերից ո՞րն է մեծ:
    4a+7b>5a+6b
    7b>a+6b
    b>a
  4. Եռանկյան կողմերից երկուսը համպատասխանաբար հավասար են a և b: Ի՞նչ սահմաններում կարող է փոփոխվել այդ եռանկյան պարագիծը:

P=a+b+(|a-b|,a+b)

  1. Դիցուք x, y, zը դրական թվեր են: Ապացուցեք, որ գոյություն ունի եռանկյուն, որի կողմերն են a=x+y, b=y+z, c=x+z:
    x+y+x+z>y+x
    2x+y+z>y+x
  2. Քառանկյան պարագիծը 118 է: Նրա անկյունագծերից մեկը քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների, որոնց պարագծերը համապատասխանաբար հավասար են 77 և 83: Հաշվեք այդ անկյունագծի երկարությունը:

Անկյունագիծ=42

  1. ABC եռանկյան A անկյունը 400-ով մեծ է իրեն կից արտաքին անկյունից: Գտեք A անկյան մեծությունը:
    <A=110
  2. Եռանկյան անկյունը 5 անգամ փոքր է իրեն կից արտաքին անկյունից: Հաշվեք A անկյան մեծությունը:

<A=30

  1. 28 սմ երկարությամբ AB հատվածը C կետով տրոհված է երկու հատվածների, ընդ որում AC:BC=1:6: Հաշվեք AC և BC հատվածների երկարությունները:

AC=4
BC=24

 

Բաժանում մնացորդով

Խնդիրներ մնացորդով բաժանման վերաբերյալ

  1. Բաժանելին 3671 է, իսկ բաժանարարը՝ 273: Ի՞նչ ամենամեծ թիվ կարելի է գումարել բաժանելիին, որ քանորդը անփոփոխ մնա:

150

  1. Բաժանելին 5461 է, իսկ բաժանարարը՝ 319: Ի՞նչ ամենամեծ թիվ կարելի է հանել բաժանելիից, որ քանորդը անփոփոխ մնա:
    280
  2. Ապացուցեք որ.
  • երկու զույգ թվերի գումարը զույգ թիվ է
    2a+2b=2(a+b)
  • երկու կենտ թվերի գումարը զույգ թիվ է
    2a-1+2b-1=2(a+b)-2
  • զույգ և կենտ թվերի գումարը կենտ թիվ է
    2a+2b-1=2(a+b)-1
  • երկու զույգ թվերի արտադրյալը զույգ թիվ է
    2a*2b=4ab
  • երկու կենտ թվերի արտադրյալը կենտ թիվ է
    (2a-1)(2b-1)=4ab-2a-2b-1
  • զույգ և կենտ թվերի արտադրյալը զույգ թիվ է:
    2a(2b-1)=4ab-2a
  1. Փորձեք տարբեր զույգ թվեր բաժանել 6-ի և գրանցեք մնացորդները: Փորձեք եզրակացություն ձևակերպել: Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:
    8%6=2
    16%6=4
    14%6=2
    Զույգ թվերը վեցի բաժանելիս, մնացորդը զույգ է կամ հավասար է զրոյի:
  2. Փորձեք 3-ի բազմապատիկ տարբեր թվեր բաժանել 12-ի և գրանցել մնացորդը: Փորձեք եզրակացություն ձևակերպել: Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:
    15%12=3
    18%12=6
    27%12=3
    3-ի բազմապատիկ թիվը 12-ի բաժանելիս, մնացորդը բաժանվում է երեքի կամ հավասար է զրոյի:
  3. Ապացուցեք, որ եթե m և n թվերը k թվին բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, ապա m-n տարբերությունը k-ի կբաժանվի առանց մնացորդի:
    m/k=x+c
    n/k=y+c
    m=xk+c
    n=yk+c
    m-n=xk+c-yk-c=xk-yk=k(x-y)
  4. Ընտրեք երկու թիվ՝ m և n, որոնք 3-ի բաժանելիս տալիս են 0-ից տարբեր նույն մնացորդը: Հաշվիր mn-1 արտահատության արժեքը: Այն բաժանիր 3-ի: Փորձիր թվերի մի քանի տարբեր զույգերի համար: Ձևակերպիր եզրակացություն: Ապացուցիր եզրակացությունդ:
    5*8-1=39
    39/3=13

 

7*4-1=27
27/3=9

 

Երկու թվեր, որոնք երեքի բաժանելիս ունեն նույն  մնացորդը, բազմապատկելիս և հետո մեկ հանելիս, պատասխանը բաժանվում է երեքի:

Հանրահաշիվ

  1. Գտեք 2x-108<130-x անհավասարմանը բավարարող ամենամեծ բնական թիվը, որը բաժանվում է և՛ 3-ի, և՛ 5-ի:
    3x<238

x<79.(3)

Պատ՝75

  1. Գտեք 2,3x-1807>-1,7x-152 անհավասարմանը բավարարող ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է 5-ի, բայց չի բաժանվում 3-ի:
    4x>1655

x>413.75

Պատ՝415

  1. Ապացուցեք, որ 222+221+220 թիվը բաժանվում է 7-ի:
    220(4+2+1)
  2. Ապացուցեք, որ 217+215+214 թիվը բաժանվում է 22-ի:
    214(8+2+1)
  3. Ապացուցեք, որ (271+272)(232-230) թիվը բաժանվում է 27-ի:
    271(1+2)*230(4+1)
  4. Ապացուցեք, որ 332+331+330 թիվը բաժանվում է 13-ի:
    330(9+3+1)
  5. Ապացուցեք, որ 324-321+320 թիվը բաժանվում է 13-ի:
    324-320(3+1)
  6. Գտեք բնական n թվի այն արժեքները, որոնց դեպքում կոտորակի արժեքը ամբողջ թիվ է:
    -1,1,-2,2,-3,7,-8
  7. Գտեք բնական n թվի այն արժեքները, որոնց դեպքում կոտորակի արժեքը ամբողջ թիվ է:
    Կենտ թվերը, բացասական թվերը