Թյուրինգի մեքենան՝ համակարգչի նախահայրը

Թյուրինգի մեքենան ստեղծվել է մաթեմատիկոս Ալան Թjուրինգի կողմից 1936 թվականին: Չնայած նրա պարզությանը, մեքենան կարող է մոդելավորել ցանկացած համակարգչային ալգորիթմ, ինչքան էլ բարդ լինի այն:

Ալան Թյուրինգը խաղացել է շատ կարևոր դեր առաջին անգլիական էլեկտրոնային համակարգիչների ստեղծման մեջ: Երկրորդ Համաշխարհային պատերազմի ժամանակ, նա աշխատում էր Բրիտանիա կոդ-ջարդող կենտրոնում: Նա մշակել է բազում տեխնիկաներ գերմանական գաղտնագրերը կոտրելու համար, և Գորդոն Վելչմանի հետ միասին ստեղծել էին Բոմբի՝ գերմանական Էնիգմա սարքի կարգավորումները գտնող մեքենայի ավելի կատարելագործված տեսակը: Հետագայում Թյուրինը մշակել է տեխնիկա Լորենզ գաղտնագիրը կոտրելու համար , որը օգտագործում էր գերմանացիների նոր Geheimschreiber մեքենան:

1936-ին իր դոկտորայինի համար Պրինցետոնի համալասարանում սովորելիս, անգլիացի մաթեմատիկոս Ալան Թյուրնգը հրատարակեց մի հոդված “Հաշվելի թվերի մասին, Էնտսչեինդունգի խնդրի դիման հետ”, որը դարձավ համակարգչային գիտության հիմքը: Այնտեղ Թյուրինգը ներկայացնում էր վերացական մեքենա, որը կարող էր լուծել ցանկացած խնդիր, որը կարելի էր բացատրել թղթե ժապավենի վրա կոդավորված պարզ հրահանգներով: Մի Թյուրինգի մեքենան կարող էր հաշվել թվերի քառակուսիները, քանի դեռ մյուսը կարող էր Սուդոկու փազլներ լուծել: Թյուրինգը ներկայացրեց, որ հնարավոր է կառուցել մեկ Ունիվերսալ Մեքենա, որ կարող է մոդելավորել ցանկացած Թյուրինգ մեքենա: Մի մեքենա, որը լուծում է ցանկացած խնդիր, կատարում է ցանկացած առաջադրանք, որի համար հնարավոր է ծրագիր գրել: Ծանոթ է՞ թվում: Նա հայտնագործել էր համակարգիչը:

Վերևում ներկայացված է Թյուրինգ մեքենայի շատ պարզ օրինակ: Այն բաղկացած է անվերջ երկար ժապավենից, որը աշխատում է ինչպես սովորական համակարգչի հիշողությունը, կամ ուրիշ ինֆորմացիան պահելու տեսակ: Ժապավենի վրայի քառակուսիները սկզբում սովորաբար դատարկ են և կարող են գրվել նշաններով: Այս դեպքում, մեքենան մենակ կարող է մշակել 0, 1 և ” “(դատարկ) նշանները, և այսպիսով համարվում է 3-նշանի Թյուրինգ մեքենա:

Մեքենան ունի գլխիկ, որը տեղադրված է ժապավենի քառակուսիներից մեկի վրա: Նրա գլխիկով մեքենան կարող է կատարել երեք հիմնական գործողություն՝ կարդալ գլխիկի տակի քառակուսու նշանը, փոխել նշանը,գրելով նորը կամ ջնջելով այն, և տեղափոխել ժապավենը աջ կամ ձախ, որպեսզի մեքենան կարողանա կարդալ հարևան քառակուսիները:

Որպես սովորական օրինակ այս գործողությունները ներկայացնելու համար, եկեք փոձենք տպել “1 1 0” նշանները ի սկզբանե դատարկ ժապավենի վրա:

Առաջինը, մենք գրում ենք 1 գլխիկի տակի քառակուսու վրա:

Հետո, տեղափոխում ենք ժապավենը ձախ մեկ քառակուսով:

Հիմա, գրում ենք 1 գլխիկի տակի նոր քառակուսու վրա:

Հետո մենք էլի տեղափոխում ենք ժապավենը ձախ մեկ քառակուսով:

Եվ վերջապես գրում ենք 0:

Ժապավենի վրա տպված “1 1 0” նշաններով եկեք փորձենք փոխել 1-երը 0-ների և հակառակը: Սա կոչվում է բիտերի հակադարձում, քանի որ 1-երը և 0-երը երկուական համակարգում բիտեր են: Սա կարելի է անել փոխանցելով Թյուրինգ մեքենային հետևյալ հրահանգները:

Կարդացվող նշանը	Գրելու հրահանգները	Շարժվելու հրահանգները
Դատարկ	Ոչինչ	Ոչինչ
0	Գրիր 1	Տեղափոխիր ժապավենը աջ
1	Գրիր 0	Տեղափոխիր ժապավենը աջ

Մեքենան սկզբում կկարդա գլխիկի տակի նշանը, կգրի համապատասխան նոր նշանը, հետո կտեղափոխի ժապավենը աջ կամ ձախ ինչպես, որ հրանգված է և հետո կրկին կկրկնի կարդալու-գրելու-շարժվելու հերթականությունը:

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչ է անում այս ծրագիրը մեր ժապավենի հետ:

Գլխիկի տակի նշանը 0 է, այսպիսով մենք գրում ենք 1 և տեղափոխում ենք ժապավենը աջ:

Հիմա կարդացվող նշանը 1 է, այսպիսով մենք գրում ենք 0 և տեղափոխում ենք ժապավենը աջ:

Նմանապես, կարդացվող նշանը 1 է, այսինքն մենք կրկնում են նույն հրահանգները:

Վերջապես, “դատարկ” նշանն է կարդացվում և մեքենան ոչինչ չի անում բացի դատարկ նշանը շարունակաբար կարդալուց, քանի որ մենք նրան հրահանգել են կրկնել կարդալ-գրել-շարժվել հերթականությւնը առանց կանգնելու:

Փաստացի, ծրագիրը անավարտ է: Ինչպե՞ս է մեքենան անվերջ կրկնում հերթականությունը և ինչպե՞ս է մեքենան կանգնեցնում ծրագիրը: Ծրագիրը ասում է նրան մեքենայական դրության գաղափարի միջոցով:

Որպեսզի ավարտենք ծրագիրը, նրա աշխատանքի ընթացքում մեքենայի դրությունները պետք է հաշվի առնվեն: Նշված փոփոխությունները պետք է ավելացվեն մեր աղյուսակին, որը հիմա կարող է անվանվել դրության աղյուսակ:

Դրություն	Կարդացվող նշանը	Գրելու հրահանգներ	Շարժվելու հրահանգներ	Հաջորդ դրություն
Դրություն 0	Դատարկ	Ոչինչ	Ոչինչ	Կանգնեցրու դրությունը
	0	Գրել 1	Տեղափոխիր ժապավենը աջ	Դրություն 0
	1	Գրել 0	Տեղափոխիր ժապավենը աջ	Դրություն 0

Մենք հատկացնում ենք նախորդ հրահանգների շարքը մեքենայական դրության, որպեսզի մեքենան կատարի հրահանգները, երբ այն հատուկ դրության մեջ է:

Ամեն մի հրահանգից հետո, մենք նաև նշում ենք դրություն, որին մեքենան պետք է տեղափոխվի: Օրինակում, մեքենան վերահղվում է իր օրիգինալ դրությանը՝ դրություն 0-ին, որպեսզի կրկնի կարդալ-գրել-շարժվել հերթականություն, բացառությամբ երբ դատարկ նշան է կարդացվում: Երբ մեքենան կարդում է դատարկ նշան, մեքենան ուղղորդվում է կանգառի դրության և ծրագիրը ավարտվում է:

Եկեք հիմա ավելացնենք հավելյալ դրություն մեր ծրագրին, որ փոխված բիտերը “0 0 1” ետ է վերադարձնում բնօրինակին՝ “1 1 0”: Ներքևում թարմացված աղյուսակն է: Թյուրինգ մեքենան հիմա վարվում է ինչպես վերջավոր դրություններով մեքենա, երկու դրությունով: Սրանք կոչվում են երեք-նշանի, երկու դրությամբ Թյուրինգ մեքենաներ:

Դրություն	Կարդացվող նշան	Գրելու հրահանգներ	Շարժվելու հրահանգներ	Հաջորդ դրություն
Դրություն 0	Ոչինչ	Գրիր դատարկ	Տեղափոխիր ժապավենը ձախ	Դրություն 1
	0	Գրիր 1	Տեղափոխիր ժապավենը աջ	Դրություն 1
	1	Գրիր 0	Տեղափոխիր ժապավենը աջ	Դրություն 0
Դրություն 1	Ոչինչ	Գրիր դատարկ	Տեղափոխիր ժապավենը աջ	Կանգեցման դրությունը
	0	Գրիր 1	Տեղափոխիր ժապավենը ձախ	Դրություն 1
	1	Գրիր 0	Տեղափոխիր ժապավենը ձախ	Դրություն 1

Գրելու հրահանգներում “Ոչինչը” փոխվել է “Գրիր դատարկի” միօրինակության համար (որ միայն մեքենայի հրահանգներն օգտագործվեն), և պետք է նշվի, որ նրանք նույնն են:

Հիմա, ոչինչ անելու և կանգնելու փոխարեն, երբ մեքենան հանդիպում է դատարկ նշան մենք հրահանգում ենք նրան տեղափոխել ժապավենը ձախ Դրություն 1 տեղափոխվելուց առաջ, որտեղ այն վերադարձնում է բիտերի հակադարձումը:

Հետո, մենք էլի հակադարձում ենք բիտերը, այս անգամ ժապավենը աջի տեղը ձախ տեղափոխելով:

Վերջապես, դատարկ նշան է կարդացվում և մենք տեղափոխում ենք ժապավենը աջ, որպեսզի վերադառնանք սկզբնական դիրքին և կանգնեցնենք ծրագիրը:

Մեր ծրագրին ավել դրություններ ներկայացնելով, մենք կարող ենք Թյուրինգ մեքենային հրահանգել կատաել ավելի բադ ֆունկցիաներ և այդպիսով աշխատեցնել ցանկացած ալգորիթմ, որ ժամանակակից համակարգիչը կարող է անել:

Հիմա կանյենք, թե ինչպես կարելի է կատարել գումարում Թյուրինգի մեքենայով:

Տարբեր մեքենաներում թիվը ներկայացված է երկուական ձևաչաթով: Օրինակ 5-ը ներկայացված է, որպես 101, բայց Թյուինգի մեքենան օգտագործելիս օգտագործվում է անարական ձևաչափը: Անարական ձևաչափում թիվը ներկայացված է կամ լրիվ մեկերով կամ լրիվ զրներով: Օրինակ, հինգը կլինի 00000:

Թյուրինգի մեքենայով 2 թվերի գումարում անելիս, այդ երկու թվերը մուտքագրում ենք Թյուրինգի մեքենային “c”-ով բաժանված:

Օրինակ՝ 2+3 կլինի 0 0 c 0 0 0:

Գումարումը անելու համար պետք է հետևենք այս քայլերին.

Քայլ 1: Փոխիր 0-ն X-ի և գնա քայլ 2: Եթե նշանը “c” է, ապա դարձրու այն դատարկ, տեղափոխվիր աջ և գնա քայլ 6:

Քայլ 2: Շարունակիր 0-ները անտեսելով և տեղափոխվիր աջ: Անտեսի “c”-ն, տեղափոխվի աջ և գնա քայլ 3:

Քայլ 3: Շարունակիր անտեսել 0-ները և տեղափոխվիր աջ: Փոխիր դատարկը 0-ի, տեղափոխվիր ձախ և գնա քայլ 4:

Քայլ 4: Շարունակի անտեսել 0-ները և տեղափոխվիր ձախ: ԱՆտեսի “c”-ն, գնա ձախ և գնա քայլ 3:

Քայլ 5: Շարունակիր անտեսել 0-ները և շարժվիր ձախ: Անտեսիր X-ը, տեղափոխվիր ձախ և գնա քայլ 1:

Քայլ 6: Վերջ

Թյուրինգի ժառանգությունը անավարտ է: 1950 թվականին նա հրապարակեց հոդված կոչված “Հաշվարկելով մեքենաներ և ինտելեկտ”: Նա միտք ուներ, որ համակարգիչներն այնքան հզոր կդառնան, որ նրանք ունակ կլինեն մտածելու: Նա նախատեսեց մի ժամանակ երբ արհեստական ինտելեկտը կլինի իրականություն: Բայց, ինչպե՞ս կիմանաս, թե մեքենան ինտելեկտ ունի: Նա մշակել է Թյուրինգ թեստ; Դատողը նստած համակարգչի մոտ հարցեր է տալիս երկու սուբյեկտների, մեկը մարդ, մյուսը համակարգիչ: Դատողը որոշում է, որ սուբյեկտն է մարդ և որը համակարգիչ: Եթե դատողը սխալվում է, ուրեմն համակարգիչը անցել է Թյուրինգ թեստը և ինտելեկտուալ է:

Չնայած որ Թյուրինգի ԱԻ-ն դեռ ոչ ոք չի հասել, արհեստական ինտելեկտը ավելի և ավելի շատ է ընդգրկվում մեր առօրյա կյանքում: Մեքենաների արբանյակային նավարկման համակարգերը և Google-ի որոնման ալգորիթմները օգտագործում են ԱԻ: Մեքենաների արտադրողները աշխատում են ինքնավար մեքենաների վրա և Ամերիկայում արդեն աշխատում են այդպիսի մեքենաներին ճանապարհներին թույլատրելու վրա: Թյուրինգի արհեստական ինտելեկտը շուտով իրականություն կդառնա:

Աղբյուրները՝
https://www.cl.cam.ac.uk/projects/raspberrypi/tutorials/turing-machine/one.html
https://history-computer.com/ModernComputer/thinkers/Turing.html
https://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/how-alan-turing-invented-the-computer-age/
http://www.rutherfordjournal.org/article040101.html
https://www.geeksforgeeks.org/turing-machine-for-multiplication/

Հետազոտությունը՝ Նազելի Տեր-Պետրոսյանի

Պյութագորասի թեորեմի ապացույց

Հիմա մենք կսկսենք նույն եռանկյան չորս պատճեներով: Նրանցից երեքը համապատասխանաբար պտտել են 90°, 180°, և 270°: Ամեն մեկը ունի ab/2 մակերեսը: Եկենք առանց լրացուցիչ պտույտների դնենք նրանք միասին, որպեսզի նրանք կազմեն c կողմով քառակուսի:

Քառակուսին ունի քառակուսի ծակ (a – b) կողմով: Հաշվելով նրա մակերեսը (a – b)² և 2ab, չորս եռանկյունների մակերեսը (4·ab/2), մենք ստանում ենք

c²= (a – b)² + 2ab= a² – 2ab + b² + 2ab= a² + b²

Անգլերեն տարբերակը տես այստեղ

Պարզ թվեր

• գրեք հարյուրից փոքր պարզ թվերը աճման կարգով
• օգտվելով համցանցից ներբեռնած աղյուսակից, գրեք, թե մինչև հազարը յուրաքանչյուր հարյուրակում քանի պարզ թիվ կա
• ապացուցեք, որ 3-ից մեծ պարզ թվերը ունեն 6k+1 կամ 6k-1(6k+5) տեսքը
• ի՞նչ թվանշաններով կարող են վերջանալ պարզ թվերի քառակուսիները:
  4,9,5,1
  Միջակայքի պարզ թվերը հաշվող ծրագիր:

Երկրաչափություն

1. Ապացուցեք, որ եռանկյան ցանկացած կողմը փոքր է եռանկյան կիսապարագծից:
   ½(a+b+c)>a
   a+b+c>2a
   b+c>a
2. Ապացուցեք, որ եռանկյան բարձրությունը փոքր է նույն գագաթից ելնող կողմերի կիսագումարից:
   a>h, b>h
   a+b>2h
   (a+b)/2>h
3. Եռանկյան բարձրությունների գումարը փոքր է նրա պարագծից:
   h1<1/2(a+b)
   h2<1/2(b+c)
   h3<1/2(c+a)
   a+b+c>h1+h2+h3
4. Ապացուցեք, որ եթե մի եռանկյան կողմը, նրան կից մի անկյունը և մյուս երկու կողմերի գումարը համապատասխանաբար հավասար են մյուս եռանկյան կողմին, նրան կից անկյանը և մյուս երկու կողմերի գումարին, ապա այդ եռանկյունները հավասար են:
5. Օգտագործելով GeoGebra ծրագիրը, գծեք հատված, որի երկարությունը չորս անգամ մեծ լինի տրված հատվածի երկարությունից:
6. Օգտագործելով GeoGebra ծրագիրը գծեք 3a+2b երկարությամբ c հատված, որտեղ a,b-ն տրված հատվածների երկարություններն են:

1. Եռանկյան արտաքին անկյունը 150⁰ է: Նրան ոչ կից անկյուններից մեկը 10⁰-ով մեծ է մյուսից: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները:
   <A=30
   <B=70
   <C=80
2. Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 40⁰ է: Այդ եռանկյան սրունքն է մե՞ծ, թե՞ հիմքը:
   Հիմքը
3. Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 100⁰ է: Այդ եռանկյան սրունքն է մե՞ծ, թե՞ հիմքը:
   Նայած ինչ դեպքում:
4. ABC եռանկյան մեջ AB=BC, B=80⁰: A և C անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում: Գտեք AMC անկյան մեծությունը:
   <AMC=130
5. ABC եռանկյան AB կողմը շարունակված է B գագաթից: Այդ շարունակության վրա նշված է D կետն այնպես, որ BC=BD: Գտեք ACD անկյան մեծությունը, եթե ACB=60⁰, ABC=50⁰ :
   <ACD=60
6. 45 մեծություն ունեցող A անկյան կողմերի վրա նշված են B և C կետերը, իսկ ներքին տիրույթում D կետն այնպես, որ ABD=95⁰, ACD-90⁰: Գտե BDC անկյան մեծությունը:

 

Երկրաչափություն

1. ABC եռանկյան մեջ BC=1, CA=7 և AB կողմի երկարությունը նույնպես ամբողջ թվով է արտահայտվում: Գտեք AB կողմի երկարությունը:
   6<AB<8

AB=7

2. Գտեք հավասարասրուն եռակյան պարագիծը, եթե նրա կողմերից երկուսի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են 3,9 և 7,9:
   3,9+3,9+7,9=15.5սմ
3. Եռանկյան երկու կողմերը համապատասխանաբար հավասար են 3 և 4: Երրորդ կողմին տարված միջնագիծը տրված եռանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների: Հաշվեք ստացված եռանկյունների պարագծերի տարբերությունը:
   P₁=P₂+1
4. Տրված են a և b երկրարությամբ հատվածներ, և հայտնի է, որ գոյություն ունի եռանկյուն, որի կողմերն են a+5b, 5a+6b, 3a+2b հատվածները: a և b թվերից ո՞րն է մեծ:
   4a+7b>5a+6b
   7b>a+6b
   b>a
5. Եռանկյան կողմերից երկուսը համպատասխանաբար հավասար են a և b: Ի՞նչ սահմաններում կարող է փոփոխվել այդ եռանկյան պարագիծը:

P=a+b+(|a-b|,a+b)

6. Դիցուք x, y, z–ը դրական թվեր են: Ապացուցեք, որ գոյություն ունի եռանկյուն, որի կողմերն են a=x+y, b=y+z, c=x+z:
   x+y+x+z>y+x
   2x+y+z>y+x
7. Քառանկյան պարագիծը 118 է: Նրա անկյունագծերից մեկը քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյունների, որոնց պարագծերը համապատասխանաբար հավասար են 77 և 83: Հաշվեք այդ անկյունագծի երկարությունը:

Անկյունագիծ=42

8. ABC եռանկյան A անկյունը 40⁰-ով մեծ է իրեն կից արտաքին անկյունից: Գտեք A անկյան մեծությունը:
   <A=110
9. Եռանկյան անկյունը 5 անգամ փոքր է իրեն կից արտաքին անկյունից: Հաշվեք A անկյան մեծությունը:

<A=30

10. 28 սմ երկարությամբ AB հատվածը C կետով տրոհված է երկու հատվածների, ընդ որում AC:BC=1:6: Հաշվեք AC և BC հատվածների երկարությունները:

AC=4
BC=24

 

Բաժանում մնացորդով

Խնդիրներ մնացորդով բաժանման վերաբերյալ

1. Բաժանելին 3671 է, իսկ բաժանարարը՝ 273: Ի՞նչ ամենամեծ թիվ կարելի է գումարել բաժանելիին, որ քանորդը անփոփոխ մնա:

150

2. Բաժանելին 5461 է, իսկ բաժանարարը՝ 319: Ի՞նչ ամենամեծ թիվ կարելի է հանել բաժանելիից, որ քանորդը անփոփոխ մնա:
   280
3. Ապացուցեք որ.

• երկու զույգ թվերի գումարը զույգ թիվ է
  2a+2b=2(a+b)
• երկու կենտ թվերի գումարը զույգ թիվ է
  2a-1+2b-1=2(a+b)-2
• զույգ և կենտ թվերի գումարը կենտ թիվ է
  2a+2b-1=2(a+b)-1
• երկու զույգ թվերի արտադրյալը զույգ թիվ է
  2a*2b=4ab
• երկու կենտ թվերի արտադրյալը կենտ թիվ է
  (2a-1)(2b-1)=4ab-2a-2b-1
• զույգ և կենտ թվերի արտադրյալը զույգ թիվ է:
  2a(2b-1)=4ab-2a

4. Փորձեք տարբեր զույգ թվեր բաժանել 6-ի և գրանցեք մնացորդները: Փորձեք եզրակացություն ձևակերպել: Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:
   8%6=2
   16%6=4
   14%6=2
   Զույգ թվերը վեցի բաժանելիս, մնացորդը զույգ է կամ հավասար է զրոյի:
5. Փորձեք 3-ի բազմապատիկ տարբեր թվեր բաժանել 12-ի և գրանցել մնացորդը: Փորձեք եզրակացություն ձևակերպել: Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:
   15%12=3
   18%12=6
   27%12=3
   3-ի բազմապատիկ թիվը 12-ի բաժանելիս, մնացորդը բաժանվում է երեքի կամ հավասար է զրոյի:
6. Ապացուցեք, որ եթե m և n թվերը k թվին բաժանելիս տալիս են նույն մնացորդը, ապա m-n տարբերությունը k-ի կբաժանվի առանց մնացորդի:
   m/k=x+c
   n/k=y+c
   m=xk+c
   n=yk+c
   m-n=xk+c-yk-c=xk-yk=k(x-y)
7. Ընտրեք երկու թիվ՝ m և n, որոնք 3-ի բաժանելիս տալիս են 0-ից տարբեր նույն մնացորդը: Հաշվիր mn-1 արտահատության արժեքը: Այն բաժանիր 3-ի: Փորձիր թվերի մի քանի տարբեր զույգերի համար: Ձևակերպիր եզրակացություն: Ապացուցիր եզրակացությունդ:
   5*8-1=39
   39/3=13

 

7*4-1=27
27/3=9

 

Երկու թվեր, որոնք երեքի բաժանելիս ունեն նույն  մնացորդը, բազմապատկելիս և հետո մեկ հանելիս, պատասխանը բաժանվում է երեքի:

Հանրահաշիվ

1. Գտեք 2x-108<130-x անհավասարմանը բավարարող ամենամեծ բնական թիվը, որը բաժանվում է և՛ 3-ի, և՛ 5-ի:
   3x<238

x<79.(3)

Պատ՝75

2. Գտեք 2,3x-1807>-1,7x-152 անհավասարմանը բավարարող ամենափոքր բնական թիվը, որը բաժանվում է 5-ի, բայց չի բաժանվում 3-ի:
   4x>1655

x>413.75

Պատ՝415

3. Ապացուցեք, որ 2²²+2²¹+2²⁰ թիվը բաժանվում է 7-ի:
   2²⁰(4+2+1)
4. Ապացուցեք, որ 2¹⁷+2¹⁵+2¹⁴ թիվը բաժանվում է 22-ի:
   2¹⁴(8+2+1)
5. Ապացուցեք, որ (2⁷¹+2⁷²)(2³²-2³⁰) թիվը բաժանվում է 27-ի:
   2⁷¹(1+2)*2³⁰(4+1)
6. Ապացուցեք, որ 3³²+3³¹+3³⁰ թիվը բաժանվում է 13-ի:
   3³⁰(9+3+1)
7. Ապացուցեք, որ 324-3²¹+3²⁰ թիվը բաժանվում է 13-ի:
   324-3²⁰(3+1)
8. Գտեք բնական n թվի այն արժեքները, որոնց դեպքում կոտորակի արժեքը ամբողջ թիվ է:
   -1,1,-2,2,-3,7,-8
9. Գտեք բնական n թվի այն արժեքները, որոնց դեպքում կոտորակի արժեքը ամբողջ թիվ է:
   Կենտ թվերը, բացասական թվերը

 

Բաժանում մնացորդով

Բաժանում մնացորդով

Տոպրակում կա a հատ գնդիկ: Առանց տոպրակի մեջ նայելու հանում ենք 3 գնդիկ, հետո նորից 3 գնդիկ և այդպես շարունակ, մինչև 3 գնդիկ չկարողանանք հանել: Գրիր, թե ի՞նչ դեպքեր են հնարավոր: Գրիր օրինակներ՝ լրացնելով աղյուսակի համապատասխան վանդակները.

սկզբում գնդիկների թիվը	քանի անգամ եմ 3 գնդիկ հանել	մնացած գնդիկների թիվը
28	9	1
17	5	2
7	2	1
20	6	2

 

Այս բոլոր դեպքերը կարող ենք գրել մի բանաձի միջոցով՝

a=3q+r, որտեղ q-ն ցույց է տալիս, թե քանի անգամ ենք 3 գնդիկ հանել տոպրակից, և կարող է ընդունել 0, 1, 2, 3, … արժեքներ, իսկ r-ը ցույց է տալիս, թե վերջում, երբ արդեն 3 գնդիկ չէինք կարող հանել, քանի գնդիկ է մնացել տոպրակում և կարող է ընդունել 0, 1, 2 արժեք:

Ցանկացած a և b բնական (ընդհանուր դեպքում՝ a-ն կարող է լինել անբողջ) թվերի համար գոյություն ունեն այնպիսի q և r թվեր, որ

a=bq+r, որտեղ           (1)

q-ն կոչվում է ոչ լրիվ քանորդ, իսկ r-ը մնացորդ: Ընդ որում, տրված a և b թվերի համար այս ներկայացումը միարժեք է:

Դիցուք a=93, b=4. այս դեպքի համար գրիր (1) բանաձևը: Երկու այլ դեպք էլ ինքդ հորինիր:

93=4*23+1

101=3*33+2

32=5*6+2

Երբ մնացորդը՝ r= 0, ստանում ենք մեզ ծանոթ բաժանման դեպքը: Այս դեպքում ասում էինք, որ a-ն b-ի բազմապատիկն է, իսկ b-ն՝ a-ի բաժանարարը:

Տեսնում ենք, որ r մնացորդը միշտ փոքր է b-ից: Օրինակ, երբ b=3, մնացորդը կարող է լինել 0, 1 կամ 2: Ուրեմն՝ բոլոր բնական թվերը կարող ենք բաժանել երեք խմբի՝

առանց մնացորդի բաժանվող թվեր	թվեր, որոնք տալիս են 1 մնացորդ	թվեր, որոնք տալիս են 2 մնացորդ
բանաձևը

 

Ցանկացած բնական թիվ պետք է պատկանի այղ խմբերից որևէ մեկին՝

• չի կարող ոչ մեկին չպատկանել
• չի կարող միաժամանակ երկուսին պատկանել:

Այսպիսի աղյուսակ կազմեք, երբ b=5:

առանց մնացորդի բաժանվող թվեր	թվեր, որոնք տալիս են 1 մնացորդ	թվեր, որոնք տալիս են 2 մնացորդ	թվեր, որոնք տալիս են 3 մնացորդ	թվեր, որոնք տալիս են 4 մնացորդ
10= 2*5	11=2*5+1	7=1*5+2	18=3*5+3	39=7*5+4
20=4*5	16=3*5+1	22=4*5+2	28=5*5+3	14=2*5+4
5k	5k+1	5k+2	5k+3	5k+4

 

Վարժություններ

1. Ի՞նչ մնացորդ կստացվի, եթե 70-ը բաժանենք 6-ի:
   4
2. Ի՞նչ մնացորդ կստացվի, եթե 100-ը բաժանենք 7-ի:
   2
3. Հաշվիչի օգնությամբ ինչպե՞ս գտնենք մի թիվը մյուսին բաժանելիս ստացվող մնացորդը:
   Մի Թիվը բաժանում են մյուսին: Վեցնում ենք քանորդի ամբողջ մասը: Բազմապատկում ենք ամբողջ մասը բաժանարարի հետ: Բաժանելիից հանում ենք արտադրյալը:
4. Գտեք այն թիվը, որը 17-ի բաժանելիս քանորդում ստացվում է 25, իսկ մնացորդում 9:
   434
5. Թիվը 58-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 16: Այդ թիվը զո՞ւյգ է, թե՞ կենտ:
   զույգ
6. Թիվը 448-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 252: Այդ թիվը բաժանվո՞ւմ է 28-ի:
   այո
7. 2517 թիվը ինչ-որ թվի բաժանելիս քանորդում ստացվում է 66: Գտեք բաժանարարը և մնացորդը:
   Բաժանարար-38
   Մնացորդ-9
8. Թիվը 72-ի բաժանելիս մնացորդում ստացվում է 43: Ի՞նչ մնացորդ կստացվի այդ թիվը 18-ի բաժանելիս:
   7
9. Գտեք ամենափոքր եռանիշ թիվը, որը 47-ի բաժանելիս տալիս է 31 մնացորդ:
   125
10. Գտեք այն ամենամեծ քառանիշ թիվը, որը 91-ի բաժանելիս տալիս է 53 մնացորդ:
    9972

 

 

 

Առաջադրանք թվերի բաժանելիության վերաբերյալ 07.10.18

1. Ապացուցեք, որ եթե n-ը բաժանվում է 3-ի, ապա 4n-ը կբաժանվի 12-ի: Բերեք օրինակ:

3k*4=12k

2. Ապացուցեք, որ եթե a-ն զույգ թիվ է, ապա a²-ն կբաժանվի 4-ի: Բերեք օրինակ:
   (2k)²=4k²
3. Ապացուցեք, որ եթե m-ը բաժանվում է 3-ի և n-ը բաժանվում է 5-ի, ապա mn-ը կբաժանվի 15-ի: Բերեք օրինակ:
   3a*5b=15ab
4. Ընտրեք 2-ի բաժանվող m թիվ և 3-ի բաժանվող n թիվ:
   m=4, n=6

• Հաշվեք 3m+2n արտահայտության արժեքը:
  12+12=24
• Գրեք ստացված թվի բաժանարարները:
  12,8,6,4,3,2
• Նույնը արեք թվերի մի քանի զույգերի հետ:
  m=2 n=3
  6+6=12
  6,4,3,2

m=6 n=9

18+18=36

18,12,6,3,2

• Ձևակերպեք եզրակացություն:
  3m=2n
• Ապացուցեք ձեր եզրակացությունը:

5. 700-ից փոքր քանի՞ բնական թիվ է բաժանվում 3-ի:
   233
6. [200;900] միջակայքին պատկանող քանի՞ բնական թիվ չի բաժանվում 5-ի:
   560